The Way

이 장에서는 다양한 적분기법들을 배운다.적분이라는게 사실.. 미분처럼 그리 자유롭게 되는 것이 아니라 약간만 형태가 복잡해져도 각종 트릭을 써서 구해야하고, 또 그마저도 못 구하는 경우도 많다.이 과정에서 굉장히 천재적인 아이디어가 많이 나온다. 그저 감탄만 하면서 7장을 마쳤다. 7장에 나온 내용은 사실 다 알 필요가 없다고 생각한다. 우리에겐 천재들이 만들어놓은 wolfram alpha가 있기 때문에..그래도 아이디어에 감탄하면서 한번 쭉 풀 가치는 충분하다. 부분적분가장 기본적인 형태. 곱의 미분을 거꾸로하면 유도된다.$\int{f(x)g'(x)}dx = f(x)g(x) - \int{f'(x)g(x)}dx$ f(x) 하나는 미분을 반복했을 때 점차 소거, g(x)는 적분을 반복할 때 그리 복잡해지지..

자연상수 e는 경이로운 숫자이다. e는 다양한 곳에서 등장하는데, 예컨데 $\lim_{n\to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$$\lim_{n\to \infty} \sum_{k = 0}^{n}\frac{1}{k!} = e$ 등이 있다. 이 장에서는 적분에서 출발하여 e를 정의하고 또 다양한 쌍곡선함수들을 정의한다. 자연로그함수의 정의 자연로그함수 $\ln x$는 다음과 같이 정의한다. $\ln x = \int_{1}^{x} {\frac{1}{t}} dt$ e의 정의e는 다음을 만족하는 수이다.$\int_{1}^{e} {\frac{1}{t}} dt = 1$ exp(x)의 정의$\exp(x) = \ln^{-1} x$ 사실 다 돌고도는 성질들이라 큰 차이는 없지만, 이렇게 정의하였을 ..

정적분을 배웠으니 그 응용을 해 볼 차례이다.적분은 애초에 무언가를 쌓는다는 이미지가 강하기 때문에, 넓이나 부피를 구하기 용이하다.아래 나온 것들도 사실 구분구적법을 배운 사람이라면 따로 공부하지 않아도 구할 수 있는 정도이다. 개꿀챕터. 1. 부피 구하기원판을 합하는 식은 원체 쉬우니 넘어가자. 회전체의 경우 원판이 아닌, 두께가 없고 높이가 있는 고리 모양을 합해서 구할 수 있다. 아래 예제를 보자. 예제 1. x축과 포물선 $f(x) = 3x - x^2$으로 둘러싸인 영역을 수직선 $x=-1$로 회전시켰을 때 얻어진 입체의 부피y축 기준 원판모양으로 구하려면 상당히 어려운 문제다. 하지만 x축 기준으로 고리 모양으로 합하면 쉽다.고리의 길이는 $2\pi R$이고 높이는 $f(x)$이다. 2. 호의..

드디어 나왔다. 적분.여담이지만, '적분'이란 무엇인가?미분의 역연산? 그래프 아래의 넓이? 과연 이 물음에 정확한 답을 할 수 있는 대학생이 얼마나 될까.적분의 세계를 한 번 탐험해보자. 부정적분부정적분은 굉장히 간단하다. 책에 따르면,'함수 f의 역도함수(미분해서 f가 되는 함수) 전체의 집합'을 f의 부정적분이라고 한다.그런데 한글 위키피디아에는'어떤 함수를 도함수로 하는 모든 함수를 구하는 연산'이 부정적분이라고 한다. 음? 어떤게 맞는거지? 영문 위키피디아를 보자.'in calculus, an antiderive is a differentiable function F whose derivative is equal to the original function f.'영문 위키피디아의 정의를 따르자...

재미없는 단원이다. 하지만 중요한 내용이 많으니 버티자. ㅠㅠ 먼저 기본인 최대, 최소. 최댓값, 최솟값은 정의역의 양 끝점이나 임계점에서만 가질 수 있다.임계점은 도함수가 0이거나 정의가 되지 않는 점. 다음으로 롤의 정리, 평균값의 정리가 나온다.고교 과정에도 나오는 간단한 식이고 대부분 증명을 할 때 이용된다. 롤의 정리는 너무 쉬워서 생략. 평균값의 정리$y=f(x)$가 $[a,b]$에서 연속이고 $(a, b)$에서 미분 가능하면$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$인 $c$가 $(a, b)$에 존재 간단하게 기억하고 넘어가자. 도함수와 2계 도함수, 극값을 알면 그래프의 개형을 간단하게 그릴 수 있다.하지만 그냥 컴퓨터로 등간격으로 나누어서 그리는게 더 쉽게 먹힐 수 있다.. 다음..

미분은 정말 신이 내린 선물이다. 왜냐하면 쉽기 때문에. 적분같은 것과는 차원이 다르다.대부분 고교과정에 있는 내용이라 후딱후딱 넘어갔다. 그런데 역함수의 미분은 잘 기억이 나지 않았다.그런데 굉장히 유용하니 정리하자. 역함수의 미분아래 그림을 보면 간단하게 이해할 수 있을 것이다. 간단한 식이지만 활용이 굉장히 다양하다. 예제 1. $\frac{d}{dx} \ln{x}$ 구하기일반적인 방법. 아마 수학의 정석에 소개된 방법일 것이다.하지만 역함수의 미분법을 사용하면 두 줄이면 끝난다. 마찬가지로 삼각함수의 역함수의 미분을 구하는 데에도 유용하게 사용된다.공대생 중 아크사인의 미분을 못 구하는 사람도 많을 듯 하다. 나만 못구했었나..? 먼저 구하기 전에 삼각함수의 미분을 가볍게 정리하고 넘어가자. 위 ..

극한과 연속은 입실론-델타 논법만 알면 된다. 거의 지분 99% 정도인 듯. 입실론 델타 논법간단히 말하면 $\epsilon$을 던져주었을 때 저 식을 만족하는 $\delta$를 찾기만 하면 된다. 뭐든 상관없이. 보통 $\delta$를 찾기 위해 역추적을 해준다. 예제 1. $\lim_{x\rightarrow 1} (5x-3) = 2$를 보여라. 예제 2. $\lim_{x\rightarrow 4} \sqrt{x} = 2$를 보여라. 예제 3. $\lim_{x\rightarrow c} f(x) = L$, $\lim_{x\rightarrow c} g(x) = M$일 때$\lim_{x\rightarrow c} (f(x) + g(x)) = L + M$임을 보이기. 나머지는 다 뻔한 내용이다.우극한과 좌극한은 ..