미적분학 7장 - 적분기법

이 장에서는 다양한 적분기법들을 배운다.

적분이라는게 사실.. 미분처럼 그리 자유롭게 되는 것이 아니라 약간만 형태가 복잡해져도 각종 트릭을 써서 구해야하고, 또 그마저도 못 구하는 경우도 많다.

이 과정에서 굉장히 천재적인 아이디어가 많이 나온다. 그저 감탄만 하면서 7장을 마쳤다.

7장에 나온 내용은 사실 다 알 필요가 없다고 생각한다. 우리에겐 천재들이 만들어놓은 wolfram alpha가 있기 때문에..

그래도 아이디어에 감탄하면서 한번 쭉 풀 가치는 충분하다.

부분적분

가장 기본적인 형태. 곱의 미분을 거꾸로하면 유도된다.

$\int{f(x)g'(x)}dx = f(x)g(x) - \int{f'(x)g(x)}dx$

f(x) 하나는 미분을 반복했을 때 점차 소거, g(x)는 적분을 반복할 때 그리 복잡해지지 않는 함수($e^x$, $\sin x$ 등)일 때 사용한다.

예제 1. $\int x^3 \sin x dx$ 구하기

부분적분을 반복한다. 반복하면 f(x)는 계속 미분, g(x)는 적분당하는 것을 확인할 수 있다.

삼각함수의 적분

삼각함수의 적분은 삼각함수의 이런저런 성질들을 요리조리 잘 이용해야 한다.

$\sin x $와 $\cos x$가 여러 번 곱해진 꼴

예제 2. $\int \tan^4 x dx$ 구하기

삼각치환법

$\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$, $\sqrt{x^2 - a^2}$이 포함되어 있을 때

각각 $x = a \sin \theta$, $x = a \tan \theta$, $x = a \sec \theta$로 치환하면 편하게 풀 수 있다.

이외에도 부분분수법이 있는데, 쉬우니 생략한다.

딱 보고 풀이법이 생각나지 않는 적분 문제의 경우 적분표를 보는 것이 좋다.

고인물 책에는 수 천 개의 적분표가 수록되어있다고 한다. 이거를 멋쟁이 수학자분들이 울프람 알파에 옮겨놓았으니 우리는 울프람 알파를 애용하자. (참고로 울프람알파는 매스매티카 기반으로 작동한다)

그 외 이상적분이라는 것이 나온다.

크게 두 가지 유형이 있는데 하나는 적분의 정의역이 무한한 경우, 나머지 하나는 수직점근선을 가지는 경우이다.

사실 표기법에만 신경쓴다면 크게 어려운 내용은 아니다. 풀이 과정 중에 극한으로 표시해주어야 한다.

특히 두 번째 유형에서는 좌극한과 우극한을 방향에 맞게 잘 표기해주어야 한다.

예제를 보자.

예제 3.  $\int_{1}^{\infty} {\frac{\ln x}{x^2}} dx$ 구하기

예제 4. $\int_{0}^{3} {\frac{1}{(x-1)^{2/3}}} dx$ 구하기

x = 1에서 수직점근선을 가지므로, 분리가 필요하다.

대부분의 적분을 컴퓨터가 풀어준다는 사실에 압도적 감사를 표하자.

하지만 일부 문제는 인간의 창의력이 필요하다. 아주 좋은 예시가 있어 적어놓는다.

n이 7 정도만 되어도 컴퓨터로 구하기 상당히 난해해지고, n이 100정도 되면 아예 다른 값을 내놓는다.

약간 극단적인 예시기는 했지만, 컴퓨터는 쉽게 구하지 못하고 인간을 구할 수 있는 적분이다.

컴퓨터가 창의성을 발휘할 날이 오기 전까지는 인간이 우세할 것이다. 그 날이 언제 올지는 모르겠지만.