미적분학 3장 - 도함수의 활용

재미없는 단원이다. 하지만 중요한 내용이 많으니 버티자. ㅠㅠ

먼저 기본인 최대, 최소.

최댓값, 최솟값은 정의역의 양 끝점이나 임계점에서만 가질 수 있다.

임계점은 도함수가 0이거나 정의가 되지 않는 점.

다음으로 롤의 정리, 평균값의 정리가 나온다.

고교 과정에도 나오는 간단한 식이고 대부분 증명을 할 때 이용된다. 롤의 정리는 너무 쉬워서 생략.

평균값의 정리

$y=f(x)$가 $[a,b]$에서 연속이고 $(a, b)$에서 미분 가능하면

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$인 $c$가 $(a, b)$에 존재

간단하게 기억하고 넘어가자.

도함수와 2계 도함수, 극값을 알면 그래프의 개형을 간단하게 그릴 수 있다.

하지만 그냥 컴퓨터로 등간격으로 나누어서 그리는게 더 쉽게 먹힐 수 있다..

다음은 대망의 로피탈의 정리이다. 로피탈의 정리는 워낙 유명하고 유용해서.. 연습을 좀 해야 한다고 생각한다.

로피탈의 정리

$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

0/0, ∞/∞ 꼴에서 사용 가능하며 약간의 변형된 형태에서도 사용된다.

예제 1. $\lim_{x\to0} \frac{\sec x}{1+\tan x}$ 구하기

예제 2. $\lim_{x\to0} (e^x + x)^{\frac{1}{x}}$ 구하기

도함수의 또 다른 활용으로 뉴턴의 방법이 나오는데, 추후에 수치해석 공부할 때 공부하기로 하고 넘어가자.