미적분학 5장 - 정적분의 응용

정적분을 배웠으니 그 응용을 해 볼 차례이다.

적분은 애초에 무언가를 쌓는다는 이미지가 강하기 때문에, 넓이나 부피를 구하기 용이하다.

아래 나온 것들도 사실 구분구적법을 배운 사람이라면 따로 공부하지 않아도 구할 수 있는 정도이다. 개꿀챕터.

1. 부피 구하기

원판을 합하는 식은 원체 쉬우니 넘어가자.

회전체의 경우 원판이 아닌, 두께가 없고 높이가 있는 고리 모양을 합해서 구할 수 있다.

아래 예제를 보자.

예제 1. x축과 포물선 $f(x) = 3x - x^2$으로 둘러싸인 영역을 수직선 $x=-1$로 회전시켰을 때 얻어진 입체의 부피

y축 기준 원판모양으로 구하려면 상당히 어려운 문제다. 하지만 x축 기준으로 고리 모양으로 합하면 쉽다.

고리의 길이는 $2\pi R$이고 높이는 $f(x)$이다.

2. 호의 길이 구하기

호의 길이도 역시 자명하다.

도함수 f'이 구간 [a, b]에서 연속이면 곡선 $y=f(x)$의 점 $A=(a, f(a))$부터 점 $B = (b, f(b))$까지의 길이는 다음과 같다.

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1+f'(x)^2}dx$

예제 2. $f(x) = \frac{x^3}{12} + \frac{1}{x}$, $1 \le x \le 4$의 길이를 구하기

3. 회전면의 넓이 구하기

회전면의 넓이 구하기도 자명하다.. 구분구적법을 그대로 적용한 형태이기 때문에 더 할 설명이 없다.

함수 f(x)가 구간 [a, b]에서 $f(x) \ge 0$이고 도함수가 연속이면, 이 곡선을 x축 둘레로 회전시켰을 때 생기는 곡면의 넓이는 다음과 같다.

$S = \int_{a}^{b} 2\pi f(x) \sqrt{1+f'(x)^2}dx$

예제 3. $f(x) = 2\sqrt{x}$, $1 \le x \le 2$를 x축 둘레로 회전시켜 생긴 곡면의 넓이 구하기

계속 도함수가 연속이라는 조건이 붙었는데, 도함수가 연속이 아니라면 y축에 대해서 하거나 구간을 나누거나 하면 된다.