미적분학 6장 - 적분과 초월함수

자연상수 e는 경이로운 숫자이다. e는 다양한 곳에서 등장하는데, 예컨데

$\lim_{n\to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$

$\lim_{n\to \infty} \sum_{k = 0}^{n}\frac{1}{k!} = e$

등이 있다. 이 장에서는 적분에서 출발하여 e를 정의하고 또 다양한 쌍곡선함수들을 정의한다.

자연로그함수의 정의

자연로그함수 $\ln x$는 다음과 같이 정의한다.

$\ln x = \int_{1}^{x} {\frac{1}{t}} dt$

e의 정의

e는 다음을 만족하는 수이다.

$\int_{1}^{e} {\frac{1}{t}} dt = 1$

exp(x)의 정의

$\exp(x) = \ln^{-1} x$

사실 다 돌고도는 성질들이라 큰 차이는 없지만, 이렇게 정의하였을 때 나름의 강점들을 가진다고 생각한다.

예를 들어, 거듭제곱의 정의.

$10^{1.1}$은 무엇인가? 지수법칙에 따르자면 $\sqrt[10]{10^{11}}$이 되겠다.

그럼 $10^{\sqrt{2}}$은? 지수법칙을 따르면 $10^{1.4}$, $10^{1.41}$, $10^{1.414}$, ...가 수렴하는 값으로 정의할 수 있겠지만 약간 탐탁치 않다.

하지만 위 정의로부터 출발한다면 $a^x = e^{\ln a x}$로부터,

$10^{\sqrt{2}}$은 $\frac{1}{x}$를 1부터 t까지 정적분하였을 때의 값이 $\ln10 \sqrt{2}$가 되는 수 t임을 알 수 있다. 이 정의가 더 마음에 든다.

다음으로 쌍곡선함수가 나온다. 쌍곡선함수의 본질을 모르는 사람이 많을 것 같은데,

삼각함수(sin, cos, ...)은 단위원 $x^2 + y^2 = 1$에서부터 나온다. 마찬가지로 쌍곡선함수는 단위쌍곡선인 $x^2 - y^2 = 1$로부터 나오는 자연스러운 함수이다. 하지만 이를 e를 사용해 표시 가능하다. 정의는 다음과 같다.

tanh, sech, csch, coth는 삼각함수에서와 똑같이 정의된다.

쌍곡선함수는 삼각함수와 매우 비슷한 성질을 가지는데, 미묘하게 다르다.

쌍곡선함수의 미분은 다음과 같다.

이걸 다 외우기는 힘들 것 같고 필요할 때 찾아서 쓰자.

쌍곡선함수가 있으니 역쌍곡선함수도 있을것이다..

자체는 그냥 역함수이고, 미분했을 때의 결과가 여러 곳에 쓰인다.

유도과정은 삼각함수의 역함수 미분의 유도과정과 비슷한데, 대표로 $\sinh^{-1} x$만 미분해보자.

역함수의 미분법이 또 등장한다. 기억 안나는 사람은 2장으로...

예제 1. $\frac{d}{dx} \sinh^{-1}x$ 구하기

나머지 쌍곡선함수의 역함수의 미분은 다음과 같다.

쌍곡선함수의 역함수는, 여러 답이 없어보이는 적분을 푸는 데에 유용하게 사용된다. 다음의 예제를 보자.

예제 2. $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{3+4x^2}} dx$ 구하기