미적분학 4장 - 적분

드디어 나왔다. 적분.

여담이지만, '적분'이란 무엇인가?

미분의 역연산? 그래프 아래의 넓이? 과연 이 물음에 정확한 답을 할 수 있는 대학생이 얼마나 될까.

적분의 세계를 한 번 탐험해보자.

부정적분

부정적분은 굉장히 간단하다. 책에 따르면,

'함수 f의 역도함수(미분해서 f가 되는 함수) 전체의 집합'

을 f의 부정적분이라고 한다.

그런데 한글 위키피디아에는

'어떤 함수를 도함수로 하는 모든 함수를 구하는 연산'

이 부정적분이라고 한다. 음? 어떤게 맞는거지? 영문 위키피디아를 보자.

'in calculus, an antiderive is a differentiable function F whose derivative is equal to the original function f.'

영문 위키피디아의 정의를 따르자. 한글 위키피디아 믿지 말자.

정적분

정적분은 간단히 말해서 그래프 아래의 넓이다. 조금 더 정확하게는 함수의 어떤 구간에서 리만 합의 극한이 존재할 때 그 값이 정적분이다.

정확한 정의는 1장에서 보았던 입실론-델타가 또다시 등장한다.

즉, 구간을 어느정도 이상 잘게 분할했을 때 그 리만합이 J와 $\epsilon$ 이상 차이가 나지 않아야 한다.

위에서 볼 수 있다시피 부정적분과 정적분은 굉장히 다른 개념이다.

두 개념을 이어주는 것이 바로 미적분학의 기본정리. 역사를 뒤바꾼 적분의 혁명은 여기에서 시작됐다.

정리 2개가 있는데, 2는 1로부터 간단히 유도되므로 미적분학의 기본정리 1만 증명해보자.

먼저 정적분의 평균값 정리부터 보고가자.

보면 알겠지만 굉장히 자명하다.

미적분학의 기본정리 1.

간단히 말하면 정적분(즉 리만합)으로 정의된 함수 g(x)가 사실은 부정적분에 속한다는 것이다. 증명은 다음과 같다.

이후 간단한 적분의 활용이 나오는데, 고등수학을 배운 사람이면 누구나 풀 수 있을 정도이므로 간단히 예제 하나만 다루고 넘어가자.

예제 1. $\int_{-1}^{1} 3x^2 \sqrt{x^3 + 1} dx$ 구하기